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2018/7/9【17日目】固有値と固有ベクトルの正体

固有値固有ベクトル

曲がりなりにも対角化の意味がわかったところですが、また新たに固有値固有ベクトルという意味がわからない単語が出てきました。今日はこちらを調べていきます。

公式

固有値はあるn行n列の正方行列Aに対して、列ベクトルxがある場合、以下の公式が成り立つ。

Ax = λx

λ(ラムダ)が固有値で、xが固有ベクトルだそうです。 これだけだと全くなんのことかわからないですね。

適当な行列をAに代入して考えてみます。

固有値を求めてみる

とりあえず、ツールで簡単そうな答えになる行列を探してみます。 適当な数値を入れていきましたが、次の行列が単純そうでした。

f:id:rimt:20180710003951p:plain

ちなみにツールによると、固有値は10と-2になるらしいです。

それではやっていきます。

まずはAに代入する前に、xを求められるようにλxを左に移項させます。単純な移項なので、符号をマイナスにするだけです。

f:id:rimt:20180710004133p:plain

xが共通なので、以下の形に展開できます(そうでした、この展開を行うの中学生ぶり笑)。

f:id:rimt:20180710004205p:plain

Aの行列は分かっていますので、ここで代入します。ラムダに関しては、行列に変換するために単位行列をかけます。するとこんな形になります。

f:id:rimt:20180710004318p:plain

ここでいうxは列ベクトルなので、(x,y)に変換することができます。

f:id:rimt:20180710004410p:plain

ここでは(x,y)はまずは原点として考えてみます。すると(0,0)になるので結局消えてしまいます。残った行列で引き算をすると残った形がこんな風になります。

f:id:rimt:20180710004606p:plain

これを下記の行列式の公式に当てはめて計算します。

f:id:rimt:20180710004742p:plain

するとこんな形になりました。ここからは中学数学で計算できますね。 f:id:rimt:20180710004802p:plain

f:id:rimt:20180710004820p:plain

f:id:rimt:20180710004851p:plain

f:id:rimt:20180710004912p:plain

f:id:rimt:20180710004938p:plain

できた。このラムダ10とラムダ-2がそれぞれ固有値だそうです。 λの答えがわかりましたので、固有ベクトルも求めていきたいとおもいます。

固有ベクトルを求める

固有値がわかりましたので、(x,y)を(0,0)にする前の式に代入してみます。

f:id:rimt:20180710005048p:plain

固有値10の場合

まずはラムダに10を代入します。

f:id:rimt:20180710005355p:plain

こうなりました。

f:id:rimt:20180710005441p:plain

これを2次方程式に変換するとこんな感じです。

f:id:rimt:20180710005542p:plain

右辺が0なので、xには1、yには2が代入できそうです。

f:id:rimt:20180710005712p:plain

0=0になりました。

f:id:rimt:20180710005751p:plain

これで、固有値10のとき固有ベクトルは(1,2)と表せそうです。

固有値-2の場合

10の時と同様に、ここではラムダに-2を代入します。

f:id:rimt:20180710010031p:plain

このような形になります。

f:id:rimt:20180710010144p:plain

2次方程式に変換するとこうですね。

f:id:rimt:20180710010247p:plain

このときxに1、yに-1を代入すれば0になります(逆でもいいですかね?)。

f:id:rimt:20180710010517p:plain

0=0になりました。

f:id:rimt:20180710010601p:plain

これで固有値-2のとき固有ベクトルは(1,-1)になります。

な、長かった。。。なんとなくですが固有値固有ベクトルのことがわかりました。

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