固有値と固有ベクトル
曲がりなりにも対角化の意味がわかったところですが、また新たに固有値、固有ベクトルという意味がわからない単語が出てきました。今日はこちらを調べていきます。
公式
固有値はあるn行n列の正方行列Aに対して、列ベクトルxがある場合、以下の公式が成り立つ。
Ax = λx
λ（ラムダ）が固有値で、xが固有ベクトルだそうです。 これだけだと全くなんのことかわからないですね。
適当な行列をAに代入して考えてみます。
固有値を求めてみる
とりあえず、ツールで簡単そうな答えになる行列を探してみます。 適当な数値を入れていきましたが、次の行列が単純そうでした。
ちなみにツールによると、固有値は10と-2になるらしいです。
それではやっていきます。
まずはAに代入する前に、xを求められるようにλxを左に移項させます。単純な移項なので、符号をマイナスにするだけです。
xが共通なので、以下の形に展開できます（そうでした、この展開を行うの中学生ぶり笑）。
Aの行列は分かっていますので、ここで代入します。ラムダに関しては、行列に変換するために単位行列をかけます。するとこんな形になります。
ここでいうxは列ベクトルなので、(x,y)に変換することができます。
ここでは(x,y)はまずは原点として考えてみます。すると(0,0)になるので結局消えてしまいます。残った行列で引き算をすると残った形がこんな風になります。
これを下記の行列式の公式に当てはめて計算します。
するとこんな形になりました。ここからは中学数学で計算できますね。
できた。このラムダ10とラムダ-2がそれぞれ固有値だそうです。 λの答えがわかりましたので、固有ベクトルも求めていきたいとおもいます。
固有ベクトルを求める
固有値がわかりましたので、(x,y)を(0,0)にする前の式に代入してみます。
固有値10の場合
まずはラムダに10を代入します。
こうなりました。
これを2次方程式に変換するとこんな感じです。
右辺が0なので、xには1、yには2が代入できそうです。
0=0になりました。
これで、固有値10のとき固有ベクトルは(1,2)と表せそうです。
固有値-2の場合
10の時と同様に、ここではラムダに-2を代入します。
このような形になります。
2次方程式に変換するとこうですね。
このときxに1、yに-1を代入すれば0になります（逆でもいいですかね？）。
0=0になりました。
これで固有値-2のとき固有ベクトルは(1,-1)になります。
な、長かった。。。なんとなくですが固有値と固有ベクトルのことがわかりました。
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